MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

El Movimiento Rectilíneo Uniforme es una trayectoria recta, su velocidad es constante y su aceleración es nula.

Un movimiento es rectilíneo cuando el cuerpo describe una trayectoria recta, y es uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleración es nula. Nos referimos a él mediante el acrónimo MRU.

Movimiento que se realiza sobre una línea recta.
Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes.
La magnitud de la velocidad recibe el nombre de aceleracion o rapidez.
Aceleración nula.

La distancia recorrida se calcula multiplicando la magnitud de la velocidad media velocidad o rapidez por el tiempo transcurrido. Esta relación también es aplicable si la trayectoria no es rectilínea, con tal que la rapidez o módulo de la velocidad sea constante llamado movimiento de un cuerpo.
Al representar gráficamente la velocidad en función del tiempo se obtiene una recta paralela al eje de abscisas (tiempo). Además, el área bajo la recta producida representa la distancia recorrida.
La representación gráfica de la distancia recorrida en función del tiempo da lugar a una recta cuya pendiente se corresponde con la velocidad.
Por lo tanto el movimiento puede considerarse en dos sentidos; una velocidad negativa representa un movimiento en dirección contraria al sentido que convencionalmente hayamos adoptado como positivo.

las graficas tienen como nombre retilimatelero

De acuerdo con la Primera Ley de Newton, toda partícula permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme cuando no hay una fuerza neta que actúe sobre el cuerpo. Esta es una situación ideal, ya que siempre existen fuerzas que tienden a alterar el movimiento de las partículas, por lo que en el movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U) es difícil encontrar la fuerza amplificada, a tiempos iguales distancias iguales.

Movimiento rectilíneo

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).
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Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

CAÍDA LIBRE

En física, se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de un campo gravitatorio. Esta definición formal excluye a todas las caídas reales influenciadas en mayor o menor medida por la resistencia aerodinámica del aire, así como a cualquier otra que tenga lugar en el seno de un fluido; sin embargo es frecuente también referirse coloquialmente a éstas como caídas libres, aunque los efectos de la viscosidad del medio no sean por lo general despreciables.

El concepto es aplicable también a objetos en movimiento vertical ascendente sometidos a la acción desaceleradora de la gravedad, como un disparo vertical; o a satélites no propulsados en órbita alrededor de la Tierra. Otros sucesos referidos también como caída libre lo constituyen las trayectorias geodésicas en el espacio-tiempo descritas en la teoría de la relatividad general.

Ejemplos de caída libre deportiva los encontramos en actividades basadas en dejarse caer una persona a través de la atmósfera sin sustentación alar ni de paracaídas durante un cierto trayecto.^[1] ^[2]

La caída libre como sistema de referencia

Un sistema de referencia ligado a un cuerpo en caída libre puede considerarse inercial o no inercial en función del marco teórico que esté utilizándose.

En la física clásica, la fuerza gravitatoria que se ejerce sobre una masa es proporcional a la intensidad del campo gravitatorio en la posición espacial donde se encuentre dicha masa. La constante de proporcionalidad es precisamente el valor de la masa inercial del cuerpo, tal y como establece el principio de equivalencia. En la física relativista, la gravedad es el efecto que produce sobre las trayectorias de los cuerpos la curvatura del espacio-tiempo; en este caso, la gravedad no es una fuerza, sino una geodésica. Por tanto, desde el punto de vista de la física clásica, un sistema de referencia en caída libre es un sistema acelerado por la fuerza de la gravedad y, como tal, es no inercial. Por el contrario, desde el punto de vista de la física relativista, el mismo sistema de referencia es inercial, pues aunque está acelerado en el espacio, no está acelerado en el espacio-tiempo. La diferencia radica en la propia definición de los conceptos geométricos y cinemáticos, que para cada marco teórico son completamente diferentes.

Caída libre ideal

En la caída libre ideal, se desprecia la resistencia aerodinámica que presenta el aire al movimiento del cuerpo, analizando lo que pasaría en el vacío. En esas condiciones, la aceleración que adquiriría el cuerpo sería debida exclusivamente a la gravedad, siendo independiente de su masa; por ejemplo, si dejáramos caer una bala de cañón y una pluma en el vacío, ambos adquirirían la misma aceleración, $g\,$ , que es la aceleración de la gravedad

Ecuación del movimiento

De acuerdo a la segunda ley de Newton, la fuerza $\mathbf{F}$ que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de su masa $m\,$ por la aceleración que adquiere. En caída libre sólo intervienen el peso $\mathbf{P}$ (vertical, hacia abajo) y el rozamiento aerodinámico $\mathbf{f}(v)$ en la misma dirección, y sentido opuesto a la velocidad. Dentro de un campo gravitatorio aproximadamente constante, la ecuación del movimiento de caída libre es:

$\mathbf{F} = \mathbf{P}+\mathbf{f} = -mg {\mathbf{j}} - f\frac{\mathbf{v}}{v} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt}$

La aceleración de la gravedad $g\,$ lleva signo negativo porque se toma el eje vertical como positivo hacia arriba.

Trayectoria en caída libre

Caída libre totalmente vertical

El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad creciente (aproximadamente movimiento uniformemente acelerado con aceleración g) (aproximadamente porque la aceleración aumenta cuando el objeto disminuye en altura, en la mayoría de los casos la variación es despreciable). La ecuación de movimiento se puede escribir en términos la altura y:

(1) $-mg + f = ma_y \,$

donde:

$a_y, v_y\;$ , son la aceleración y la velocidad verticales.

$f\;$ , es la fuerza de rozamiento fluidodinámico (que aumenta con la velocidad).

Si, en primera aproximación, se desprecia la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos relativamente compactos, en las que se alcanzan velocidades moderadas, la solución de la ecuación diferencial (1) para las velocidades y la altura vienen dada por:

$\begin{matrix} v_y(t)= v_0 - gt \\ y(t) = h_0 + v_0t -\frac{1}{2}gt^2 \end{matrix}$

donde v₀ es la velocidad inicial, para una caída desde el reposo v₀ = 0 y h₀ es la altura inicial de caída.

Para grandes alturas u objetos de gran superficie (una pluma, un paracaídas) es necesario tener en cuenta la resistencia fluidodinámica que suele ser modelizada como una fuerza proporcional a la velocidad, siendo la constante de proporcionalidad el llamado rozamiento aerodinámico k_w:

(2) $-mg - k_wv_y = ma_y \,$

En este caso la variación con el tiempo de la velocidad y el espacio recorrido vienen dados por la solución de la ecuación diferencial (2):

$\begin{cases} v_y = v_0e^{-k_wt/m} + \cfrac{mg}{k_w}(e^{-k_wt/m}-1) \\ y = h_0 - \cfrac{mgt}{k_w}+m\left(\cfrac{mg+k_wv_0}{k_w^2}\right)(e^{-k_wt/m}-1) \end{cases}$

Nótese que en este caso existe una velocidad límite dada por el rozamiento aerodinámico y la masa del cuerpo que cae:

$v_\infty = \lim_{t\to \infty} v_y(t) = -\frac{mg}{k_w}$

Un análisis más cuidadoso de la fricción de un fluido revelaría que a grandes velocidades el flujo alrededor de un objeto no puede considerarse laminar, sino turbulento y se producen remolinos alrededor del objeto que cae de tal manera que la fuerza de fricción se vuelve proporcional al cuadrado de la velocidad:

(3) $ma_y = m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg - \epsilon\frac{C_d}{2}\rho A_tv_y^2$

Donde:

$C_d\;$ , es el coeficiente aerodinámico de resistencia al avance, que sólo depende de la forma del cuerpo.

$A_t\;$ , es el área transversal a la dirección del movimiento.

$\rho\;$ , es la densidad del fluido.

$\epsilon = sgn(v_y)\;$ , es el signo de la velocidad.

La velocidad límite puede calcularse fácilmente poniendo igual a cero la aceleración en la ecuación (3):

$v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{C_d\rho A_t}}$

La solución analítica de la ecuación diferencial (3) depende del signo relativo de la fuerza de rozamiento y el peso por lo que la solución analítica es diferente para un cuerpo que sube o para uno que cae. La solución de velocidades para ambos casos es:

$\begin{cases} v_y(t)= \sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tan\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}} +\arctan\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & v_y(t) > 0\\ v_y(t)= \sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tanh\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}} -\mbox{arctanh}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & v_y(t) \le 0 \end{cases}$

Donde: $\alpha = C_d\rho A_t/2m\;$ .

Si se integran las ecuaciones anteriores para el caso de caída libre desde una altura $h_0$ y velocidad inicial nula y para el caso de lanzamiento vertical desde una altura nula con una velocidad inicial $v_0$ se obtienen los siguientes resultados para la altura del cuerpo:

Caída libre ( $v_0=0$ y $y(0)=h_0$ ):

$y(t)=h_0-\cfrac{1}{{\alpha}}\ln\left[\cosh\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}}\right) \right]$

El tiempo transcurrido en la caída desde la altura $y=h_0$ hasta la altura $y=0$ puede obtenerse al reordenar la ecuación anterior:

$t(0)-t(h_0)=\cfrac{1}{\sqrt{{\alpha}{g}}}\mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)$

Lanzamiento vertical ( $v_0=v_0$ y $y(0)=0$ ):

$y(t)=\cfrac{1}{{\alpha}}\ln\left[\cfrac{\cos\left[-t\sqrt{{\alpha}{g}}+\arctan\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right)\right]}{\cos\left[\mbox{arctan}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right)\right]} \right]$

Si la altura $h_0$ es aquella en que la velocidad vertical se hace cero, entonces el tiempo transcurrido desde el lanzamiento hasta el instante en que se alcanza la altura $h_0$ puede calcularse como:

$t(h_0)-t(0)=\cfrac{1}{\sqrt{{\alpha}g}}\mbox{arctan}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right)=\cfrac{1}{\sqrt{{\alpha}g}}\mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)$

Se puede demostrar que el tiempo que tarda un cuerpo en caer desde una altura $h_0$ hasta el suelo a través del aire es mayor que el que tarda el mismo cuerpo en alcanzar la alura máxima de $h_0$ si es lanzado desde el suelo. Para ello basta con probar la desigualdad siguiente:

$\mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)>\mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)$

$\forall \alpha, h_0 > 0$

sabiendo que $\mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)\in\left[1,+\infty\right)$ y que $\mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)\in\left[0,\cfrac{\pi}{2}\right]$

Caída libre parabólica y casi-parabólica

Cuando un cuerpo cae en caída libre pero no parte del reposo porque tiene una velocidad no nula, entonces la trayectoria de caída no es una recta sino una curva aproximadamente parabólica. La ecuación de la trayectoria en coordenadas cartesianas viene dada por:

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{v_y}{v_x} \qquad \qquad \begin{cases} v_y(0) = 0\\ v_x(0) = V_x \end{cases} \qquad \qquad \begin{cases} y(0) = h_0\\ x(0) = 0 \end{cases}$

Rozamiento -k_wv. Trayectorias casi parabólicas con rozamiento proporcional a la velocidad, para cinco valores diferentes de la velocidad horizontal β = 1,5 - 2,5 - 3,5 - 4,5, desde una altura h = 7δ.

Rozamiento -C_wv². Trayectorias casi parabólicas con rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad, para cinco valores diferentes de la velocidad horizontal β = 1,5 - 2,5 - 3,5 - 4,5, desde una altura h = 7δ.

donde x es la coordenada horizontal (eje de abcisas) e y la coordenada vertical (eje de ordenadas).

La expresión de la velocidad vertical debe reescribirse en función de la coordenada x teniendo en cuenta que t = x/v_x. Pueden distinguirse los siguientes casos:

Para un cuerpo en caída libre sin rozamiento, la trayectoria es exactamente una parábola dada por:

$y(x) = h_0 -\frac{gx^2}{2V_x^2}$

Cuando se incluye el rozamiento aerodinámico, la trayectoria no es exactamente una parábola. Por ejemplo para una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad como en la (2) la trayectoria resulta ser:

$y(x) = h_0 - \delta \left[\frac{x}{\beta\delta}-\ln \left(1-\frac{x}{\beta\delta} \right) \right] \qquad \begin{cases} \delta = gm^2/k_w^2\\ \beta = V_xk_w/mg\end{cases}$

Para una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad, la integración de las ecuaciones del movimiento es más compleja, presuponiendo fuerzas de rozamiento independientes en dirección horizontal y vertical proporcionales al cuadrado del valor de la componente:

$\begin{cases} \cfrac{dv_x}{dt} = -C_wv_x^2 \\ \cfrac{dv_y}{dt} = +C_wv_y^2 -g \end{cases}$

La trayectoria viene dada por:

$y(x) = h_0 - \delta \ln \left[\cosh \left( \frac{e^{x/\delta}-1}{\beta}\right) \right] \qquad \begin{cases} \delta = 1/C_w\\ \beta = \sqrt{g/(C_wV_x^2)} \end{cases}$

Las figuras adjuntas muestran la forma de las trayectorias para cinco valores diferentes del parámetro β para una misma altura de caída (medida en unidades de longitud δ).

Caída libre desde grandes alturas

La caída libre desde grandes alturas en un campo gravitatorio aproximadamente esférico, como es el caso del campo gravitatorio terrestre, requiere correcciones importantes ya que en ese caso ni la magnitud ni la dirección de la fuerza gravitatoria son constantes. Concretamente para un campo gravitatorio newtoniano con simetría esférica, cuando podemos ignorar el rozamiento con la atmósfera, la trayectoria es un arco elipse.

movimiento rectilineo uniforme

jueves, 4 de abril de 2013